De cargas y agujeros negros

Hoy han llamado nuestra atención sobre la entrada ¿Agujeros negros cargados? del blog  Cuentos Cuánticos, uno de los que aparecen en el portal de divulgación Naukas y, en general, un blog bastante bueno.  De hecho, esta entrada está muy bien escrita y tiene un enfoque pedagógico que la hace muy recomendable, pero... La física de los agujeros negros es muy sutil y hay algunas cosas, bastante importantes, que nuestra naturaleza inquisitorial no puede dejar pasar. Así que vamos allá, pero sin acritud.

La entrada  intenta explicar por qué puede haber agujeros negros cargados y por qué esto no contradice ningún principio fundamental de la física, aprovechando de paso para hablarnos de alguno de ellos, como el de la conservación de la carga eléctrica.

Al parecer hay gente que piensa que, si un agujero negro se caracteriza por tragárselo todo, entonces tendría que tragarse el campo eléctrico también y, si se ve la interacción eléctrica cuántica como intercambio de fotones virtuales, hay una contradicción porque los fotones no podrían salir del agujero negro. De lo cual podría deducirse que no es consistente pensar que puedan estar cargados.

Este tipo de razonamiento es un poco burdo, la verdad: una cosa es que las cosas que, moviéndose, entren en un agujero negro y no puedan salir y otra cosa es que un agujero negro tenga que tragarse todo lo que hay a su alrededor. Esto último es absurdo. Se puede estar en órbita alrededor de  un agujero negro. En cuanto al campo eléctrico, no es una cosa que se mueva y caiga en el interior. Con el mismo tipo de razonamiento diríamos que el agujero negro también se traga el campo gravitatorio que produce a su alrededor. Absurdo, como se explica en el blog.

La descripción cuántica de la interacción entre una carga y un agujero negro cargado es más complicada, porque la descripción de intercambio de fotones virtuales entre las cargas es apropiada para las partículas fundamentales cargadas, no para el campo macroscópico de un agujero negro. Suponemos que esto lo explicará en la continuación.

Los problemas de esta entrada están a un nivel más fundamental. Podemos empezar por la definición de campo eléctrico:

El campo eléctrico es una característica que adquiere el espacio cuando hay cargas eléctricas en su seno.

Esta definición nos dejaría sin ondas electromagnéticas... El campo eléctrico puede y debe existir aunque no haya cargas eléctricas. Como se puede ver en las ecuaciones de Maxwell, su fuente puede ser la carga o un campo magnétrico que cambie con el tiempo.

(Quizá esta sutileza (fundamental, por otro lado) esté por encima del nivel que pretende tener el blog... Pero nosotros siempre dríamos que no se puede sacrificar la verdad, o la corrección, en aras de la divulgación.)

La explicación de la ley de Gauss es bastante clara, aunque se centre en ejemplos muy simples, pero tenemos serios problemas con
  1. Que la ley de Gauss sea válida porque la carga eléctrica es una magnitud conservada
  2. Que la conservación de la carga eléctrica se sigue del Teorema de Noether.
En realidad, la ley de Gauss es una consecuencia de las leyes de Maxwell y de la propia definición de carga eléctrica como integral de la densidad de carga eléctrica sobre el volumen considerado. Sin más.

La conservación de la carga eléctrica, con esa definición, se sigue de la consistencia de las leyes de Maxwell: no puede haber fuentes del campo electromagnético que no obedezcan la ecuación de continuidad (de la cual sigue la conservación de la carga) porque no se podrían resolver las ecuaciones de Maxwell. En otras palabras, no hay campos electromagnéticos que satisfagan esas ecuaciones y que no estén asociados a fuentes conservadas.

Que la conservación de la carga eléctrica esté asociada a la consistencia de las ecuaciones, a que, d ehecho, existen relaciones entre ellas y no son independientes, tiene una importancia fundamental. Cuando hay sistemas descritos por ecuaciones que no son independientes, es que hay libertad gauge. Hay simetrías locales en dicho sistema. Hay transformaciones que dejan el sistema invariante pero pueden ser diferentes en cada punto del espaciotiempo.

Estamos acostumbrados a transformaciones (rotaciones, traslaciones...) que tienen la misma forma en todas partes. Rotamos o desplazamos todo el espacio en bloque. Estas se suelen llamar transformaciones globales o rígidas, para distinguirlas de las locales  o gauge (o, si has estudiado en algunas universidades carpetovetónicas que es mejor no nombrar, de aforo, de contraste o de calibre). El famoso Teorema de Noether nos dice que hay una cantidad que se conserva en un sistema que es invariante bajo alguna de estas transformaciones globales. De éstas hay muchas, y de ello se siguen, además de la conservación del momento y la energía, cosas como la conservación del número leptónico.

Sin embargo, acabamos de decir que la conservación de la carga eléctrica no está asociada a una invariancia global, sino local, por lo que este teorema no se puede aplicar. (Ojo: si hay invariancia local, también la hay global, pero se puede demostrar que en este caso en el que global es un caso particular de local,  la ecuación de continuidad es trivial y no lleva, por si misma, a ninguna cantidad conservada).

En realidad, lo que se aplicaría es el segundo Teorema de Noether (el anterior es el primero), que dice, justamente, que si hay invariancia bajo transformaciones locales, las ecuaciones de movimiento del sistema no son independientes, como habíamos dicho.

Pero ¡¿qué lo mismo da?! dirá más de uno, si lo cierto es que, por hache o por be, la carga eléctrica se conserva y por eso la conserva el agujero negro... Pero obsérvese que hemos dicho, justamente, que como consecuencia del primer Teorema de Noether hay más cargas conservadas, como el número leptónico. Y que, sin embargo, nadie espera que los agujeros negros tengan número leptónico definido.

La razón es que sólo se espera (ojo, que lo de los pelos de los agujeros negros no es un teorema universal) que un agujero negro pueda tener y conservar las cargas cuya conservación se deba a simetrías locales (por el mecanismo indirecto que hemos explicado), y no las cargas conservadas asociadas a simetrías globales. Por eso es importante que la conservación de la carga eléctrica no se deba al primer Teorema de Noether, como incorrectamente se dice en la entrada del blog. Y de ahí la necesidad de purificarlo sin llegar al punto de tener que llevarlo a la hoguera.

Entonces, seguirán diciendo algunos ¿por qué el agujero negro puede tener energía (y momento si se mueve), si la conservación de la energía está asociada al primer Teorema de Noether? Pues porque en la Relatividad General no es así: las traslaciones temporales o espaciales son casos particulares de transformaciones locales (difeomorfismos, transformaciones generales de coordenadas) y la conservación de la energía y del momento se deducen de una manera indirecta muy similar a la de la carga eléctrica en el electromagnetismo.




















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